Laboratoire Matière et Systèmes Complexes

Thèse de Gérald Gurtner effectuée sous la direction de Marc Durand

Bien que de natures différentes, certains réseaux — électriques, thermiques, hydrauliques, mécaniques — possèdent au premier ordre des analogies formelles très fortes, qui permettent le traitement unifié de l’étude de leurs propriétés émergentes — conductivités, modules élastiques. A l’aide d’un principe variationnel, nous avons ainsi dérivé des bornes absolues portant sur ces propriétés. Ce faisant, nous avons explicité un ensemble de conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un réseau quelconque atteigne la borne et soit optimal. Grâce à celles-ci, nous avons trouvé plusieurs nouvelles structures optimales, en deux comme en trois dimensions.

Dans une deuxième partie, grâce à un code numérique qui nous a permis aussi de vérifier les résultats précédents, nous avons caractérisé la transition entre mode de flexion et mode de compression qui existait dans un certain type de réseaux, les matériaux fibreux. En relation avec les conditions précédentes, nous avons aussi calculé analytiquement certaines quantités statistiques microscopiques de ces assemblages, qui pourraient servir à la compréhension du phénomène. D’autre part, toujours grâce au programme, nous avons montré dans les réseaux mécaniques que la variation de la raideur aux jonctions amenait à plusieurs transitions, avec des lois de puissance.

Enfin, dans une dernière partie, nous avons montré qu’en partant de réseaux proches de l’optimum, on pouvait calculer analytiquement leurs caractéristiques macroscopiques en fonction de l’écart au réseau optimal, et qu’une nouvelle grandeur moyenne basée sur les conditions d’optimalité de la première partie semblait être pertinente pour quantifier cet écart.