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Dynamique lente dans les systèmes complexes hors d’équilibre : distributions des temps de relaxation en diffusion anormale
MSC : Noëlle Pottier
L’équation de Langevin généralisée avec un noyau mémoire décroissant
en puissances inverses du temps (
avec 
) décrit le mouvement d’une particule en diffusion anormale, dont la variance du déplacement varie aux grands temps comme 
.
Nous nous intéressons à certains aspects peu étudiés jusqu’à présent
de la dynamique, concernant le noyau mémoire, la relaxation de la
vitesse moyenne de la particule et la fonction de diffusion.
Toutes
ces quantités sont étudiées un angle unique, à savoir l’existence
éventuelle d’une distribution de temps de relaxation caractérisant
leur décroissance temporelle.
Bien que très populaire, le concept de
distribution de temps de relaxation ne peut en effet pas être associé
à n’importe quantité décroissant dans le temps (mathématiquement, il
faut et il suffit pour cela que la décroissance soit décrite par une
fonction complètement monotone).
Techniquement, nous utilisons un noyau mémoire décroissant en fonction
de Mittag-Leffler (les fonctions de Mittag—Leffler interpolent entre
un comportement en exponentielle étirée ou compressée aux temps courts et un comportement en loi de puissance aux temps longs).
Nous
montrons que, pour 
(mouvement sous-diffusif), une
distribution de temps de relaxation peut être définie pour le noyau
mémoire retardé et la fonction de diffusion, mais qu’il n’en est pas
ainsi pour la vitesse de la particule.
La situation est opposée
lorsque 
(super-diffusion).
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