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Dynamique lente dans les systèmes complexes hors d’équilibre : distributions des temps de relaxation en diffusion anormale

MSC : Noëlle Pottier


L’équation de Langevin généralisée avec un noyau mémoire décroissant en puissances inverses du temps (\gamma(t)\propto t^{-\delta} avec 0<\delta<2) décrit le mouvement d’une particule en diffusion anormale, dont la variance du déplacement varie aux grands temps comme \Delta x^2(t)\sim t^\delta. Nous nous intéressons à certains aspects peu étudiés jusqu’à présent de la dynamique, concernant le noyau mémoire, la relaxation de la vitesse moyenne de la particule et la fonction de diffusion. Toutes ces quantités sont étudiées un angle unique, à savoir l’existence éventuelle d’une distribution de temps de relaxation caractérisant leur décroissance temporelle. Bien que très populaire, le concept de distribution de temps de relaxation ne peut en effet pas être associé à n’importe quantité décroissant dans le temps (mathématiquement, il faut et il suffit pour cela que la décroissance soit décrite par une fonction complètement monotone). Techniquement, nous utilisons un noyau mémoire décroissant en fonction de Mittag-Leffler (les fonctions de Mittag—Leffler interpolent entre un comportement en exponentielle étirée ou compressée aux temps courts et un comportement en loi de puissance aux temps longs). Nous montrons que, pour 0<\delta<1 (mouvement sous-diffusif), une distribution de temps de relaxation peut être définie pour le noyau mémoire retardé et la fonction de diffusion, mais qu’il n’en est pas ainsi pour la vitesse de la particule. La situation est opposée lorsque 1<\delta<2 (super-diffusion).


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