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Aéro-élasticité

Sommaire

Introduction
1- Paramètres pertinents
1-a- Force de traînée
1-b- Force de rappel
1-c- Les nombres adimensionnels

2- Modélisation
2-a- Modèle d'une poutre
2-b- Equilibre des forces
2-c- Résolution numérique

3- Expérimentation
3-a- Rigidité de flexion
3-b- Calibration de la soufflerie et étalonnage du capteur de force
3-c- Expérience en soufflerie
3-d- Expériences envisagées dans un futur alternatif

Conclusion
Annexe
Bibliographie

Introduction

L’aéroélasticité est l’étude dynamique de systèmes soumis à un flux d’air. Dans le but de comprendre et de mimer l’architecture des feuilles végétales, nous nous intéresserons en particulier à l’étude de diverses feuilles manufacturées soumises aux vents. En effet, les arbres possèdent différentes feuilles par leur forme, taille et rigidité dictées par leur environnement. Même si la vitesse de l'écoulement de l'air n'est pas le seul facteur influant sur la forme des feuilles, il reste tout de même éminent d’observer leur impact sur les feuilles.


Figure1: Arbres de même espèce soumis à différents vents moyens ({$U_{\infty}$})

I) Paramètres pertinents

Dans notre problème, nous considérerons tout d'abord les perturbations dans un plan, donc les feuilles seront ici assimilées à des tiges fixées ponctuellement. De plus, L’étude se fait par le bilan des forces (ou des énergies) appliquées sur la feuille. Puisqu'on se place ici dans des situations où l’action du vent perturbe fortement les feuilles, il sera donc naturel dans notre bilan de négliger l’action du poids de la feuille. Notre bilan ne prendra donc en compte que les forces résultantes à savoir : la force de traînée du vent sur la feuille et la force de rappel de cette dernière en réponse à l’impulsion du vent. Les feuilles prenant naturellement leur forme d'équilibre, on pourra alors obtenir ces comparaisons à l'aide de nombres adimensionnels.

a- Force de traînée

{$\overrightarrow{F_t}=-\frac{1}{2}\rho_{air}AC_dU_{\infty}^2\vec{u}$} (1)

  • {$\rho_{air}$}[{$ kg\cdot m^{-3} $}] : la densité de l'air (que l'on considèrera dans notre étude constante valant 1,29 {$kg\cdot m^{-3}$})
  • A[m2] : la surface perpendiculaire à l'écoulement
  • {$C_{D}$}[\emptyset] : le coefficient de traînée
  • {$U_{\infty}$}[m/s] : la vitesse d'écoulement du fluide sur la feuille

On remarque que la force {$F_{t}$} et le coefficient {$C_{D}$} sont deux inconnues dépendantes l’une de l’autre. S’il n’existe pas de moyen théorique pour déterminer {$C_{D}$}, de nombreuses expériences et mesures ont déjà été faites donnant alors des tables de classification de ce coefficient pour de nombreux différents systèmes. Autrement, on peut déjà supposer que la force de traînée augmente si le vent est plus rapide, mais qu’elle diminue aussi si la feuille est plus légère et plus souple (car sa surface S diminue).

b- Force de rappel

Il est usuel d'exprimer la force de rappel comme simplement proportionnelle au carré de l'allongement (de la même façon que pour les ressorts). Cette approximation ne pourra ici pas se faire étant donné les états plus critiques de déformation de la feuille. C'est donc par la théorie des poutres et l'équation d'Euler-Bernoulli que l'étude se fera. Celle-ci définit alors le moment au centre de la feuille de l’ensemble de la force de rappel appliquée sur la feuille.

{$M=BW(S)\frac{\partial \theta}{\partial S}$} (2)

  • B[N m] : la rigidité de flexion (produit du module de Young du matériau avec le moment d’inertie)
  • W[m] : largeur de la section
  • {$\theta$}[rad] : angle d'inclinaison de chaque surface infinitésimale de la feuille par rapport à l’axe du flux
  • S[m] : coordonnée suivant la ligne neutre (ligne ne subissant ni compressions ni élongations)
c- Les nombres adimensionnels

Pour être capable de décrire les effets uniquement de la rigidité et des dimensionnements sur la reconfiguration de notre feuille, nous utiliserons des nombres adimensionnels. En effet, les nombres adimensionnels permettent d’interpréter les résultats en se libérant de certaines contraintes comme l’effet du dimensionnement de pièce. L’utilisation des nombres adimensionnels permet donc de comparer les résultats d’expériences pour différentes forme et taille de système et donc de comparer nos résultats expérimentaux à ceux obtenues lors d’études antérieures sur le sujet.

L’utilisation du théorème Pi permet de trouver les nombres adimensionnels; les grandeurs physiques qui régissent notre système (dans le cas d’un système rectangulaire) sont les suivantes:

B[N m] , L[m] , W[m] , {$U_{\infty}$}[m/s] , {$\rho_{air}$}[{$ kg\cdot m^{-3} $}] , F[N] , A[m2]

A partir de ces 7 grandeurs, nous obtenons 2 nombres adimensionnels: Cy et R (respectivement le nombre de Cauchy et le nombre de reconfiguration)

{$\overset{\sim}{C_y}=\frac {C_d\rho L^3 U_{\infty}^2}{16B}$} (3) et {$R=\frac {F}{\frac{1}{2}\rho L W C_d U_{\infty}^2}$} (4)

avec Cd qui est un coefficient qui représente le coefficient de traînée de la plaque ayant les mêmes dimensions que la plaque étudiée, mais étant parfaitement rigide.

Le nombre de Cauchy, permettra de caractériser l’effet de la rigidité du système sur l’effet de la traînée grâce à un rapport entre force d’inertie et force élastique.

Le nombre de reconfiguration permet de rendre de compte de l’effet de la flexibilité sur la traînée, grâce au rapport entre la traînée de la plaque rigide sur la traînée de la même plaque flexible.

II) Modélisation

a- Modèle d'une poutre

Toujours dans notre situation où la feuille est assimiliée à une tige fixée à une extrémité, on considère de plus la direction du vent (donc la force de traînée) normale à l'inclinaison initiale de cette tige. En posant sa longueur L0, on se placera ici dans sur une abscisse curviligne S suivant le centre de la poutre (aussi appelée ligne neutre : au dessus de cette ligne, le solide est en tension, en dessous il est en contraction). On associera de plus un angle tangent à la corde θ(S)à chaque point d'abscisse S. Etant donnée que la corde est considérée comme droite à son origine et que nous modéliserons des vents différents et à vitesse constante, nous avons les conditions aux limites suivantes(voir schéma figure 2):

{$\theta(S=0)= \frac{\pi}{2} $} (5) , {$\frac{\partial{\theta}}{\partial S} =0 $} (6) et {$ \frac{\partial^2{\theta}}{\partial S^2}(S=0) =0 $} (7)


Figure 2:Schéma du modèle de poutre en flexion. En (a), dimensions et déformation de la poutre.
1 On suppose la portance négligeable devant les autres forces.
2 On néglige le poids devant les autres forces également: {$\frac{mg}{\frac{1}{2}\rho_{air}dSU^2}=\frac{5\cdot 10^{-3}\times 10}{\frac{1}{2}\times 1,3\times 60 \cdot 10^{-4} \times 10^2}\simeq 10^{-1}$}.
3 On fait l'hypothèse que seule la composante normale à la feuille de la force de traînée entre en jeu.
b- Equilibre des Forces

Selon le moment de rappel au point S par rapport à S=0 donné par l'équation d'Euler-Bernoulli, on peut en déduire la force de rappel au point S:

{$BW_{0}\frac{\partial^2 \theta}{\partial S^2}$} (8)

La composante normale de la force de traînée exercée sur un élément de poutre dS s'écrit:

{$||\overrightarrow{dF}||=-\frac{1}{2}\rho_{air}C_dW(S)(U_{\infty}\sin{\theta})^2dS$} (9)

On peut donc en déduire la résultante des forces de traînée au point S comme:

{$\int_0^S \frac{-1}{2}\rho_{air}C_dW(S)(U_{\infty}\sin{\theta})^2\,\mathrm dS$} (10)

A l'équilibre nous obtenons donc l'équation intégro-différentielle suivante:

{$BW_{0}\frac{\partial^2 \theta}{\partial S^2}=\int_0^S \frac{-1}{2}\rho_{air}C_dW(S) (U_{\infty}\sin{\theta})^2\,\mathrm dS$} (11)

Afin d'obtenir une équation différentielle standard, nous dérivons l'équation (11) :

{$BW_{0}\frac{\partial^3 \theta}{\partial S^3}=\frac{-1}{2}\rho_{air}C_dW(S)(U_{\infty}\sin{\theta})^2$} (12)

En introduisant le nombre de Cauchy:{$\overset{\sim}{C_y}=\frac{C_d\rho_{air}L_0^3U_{\infty}^2}{2B}$}, nous obtenons:

{$\frac{\partial^3 \theta}{\partial S^3}=\frac{\overset{\sim}{C_y}}{L_0^3}\sin^2{\theta}$} (13)

Cette équation ne peut être résolue analytiquement. Nous avons réalisés une résolution numérique.

c- Résolution numérique

Nous avons donc besoin d'une méthode de résolution numérique. D'après la thèse de F.Gosselin Mécanismes d'interactions fluide-structure entre écoulements et végétation la résolution se fait par une méthode de tir en devinant l'angle en S=L0. N'ayant pas trouvé de méthode de tir, nous avons décider d'écrire un petit script en Python. En voici le principe:

  1. On fixe une liste d'angles {$\theta$} à des angles proches de {$\frac{\pi}{2}$} (typiquement:{$\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{100}$}).
  2. On attribut au premier élément de cette liste la valeur {$\frac{\pi}{2}$} pour respecter la condition limite {$\theta(S=0)= \frac{\pi}{2} $}.
  3. On crée deux listes de 0 correspondant à la dérivée première et la dérivée seconde de {$\theta$}.
  4. On modifie les valeurs de la dérivée seconde en partant de S=L0 jusqu'à S=0 par une méthode d'Euler.
  5. On procède de même pour les valeurs de la dérivée première.
  6. Cette fois-ci on modifie les valeurs de {$\theta$} en partant de S=0 jusqu'à S=L0.
  7. On boucle N fois les étapes 4 à 6.

Cette méthode converge vers une solution que nous pouvons aisément manipuler en fonction des différents paramètres. Nous pouvons maintenant par des transformations trigonométriques obtenir une liste d'abscisses X et d'ordonnées Y nous donnant la forme de notre poutre dans un repère cartésien.

Voici quelques exemples de simulation (figure 3) avec les paramètres suivants:

  • {$L_0=15cm$}
  • {$C_d=1$}(à déterminer expérimentalement)
  • {$\rho_{air}=1,29 kg\cdot m^{-3}$}
  • {$B=1$}(à déterminer expérimentalement)

Figure 3: Résultats de la simulation numériques à différentes vitesses d'écoulements

Nous pouvons faire quelques critiques sur ce modèle. La courbe lorsque {$S \to L_0$} semble rigide comparée à ce qu'on peux imaginer. Ce problème à deux explications potentielles. Premièrement, nous avons négligé le poids qui aura une contribution de plus en plus importante à mesure que la poutre se courbe. Deuxièmement, à mesure que la poutre se courbe, la force de traînée a une contribution de plus en plus faible ce qui explique cette rigidité dans le modèle. Il sera donc intéressant de comparer notre modèle numérique au profil réel de notre feuille. On pourrait également ajouter une contribution du poids (et ensuite éventuellement la force de portance) pour affiner le modèle. Enfin, le coefficient de traînée Cd peut potentiellement varier selon la géométrie prise par la feuille. Cd est un paramètre dont on ne maîtrise pas la valeur.

III) Expérimentation

Notre étude ayant pour but d’étudier le dynamisme de différentes feuilles face au vent, nous avons eu accès à une soufflerie pour générer un vent artificiel. Avant de placer directement des feuilles à l’intérieur de cette soufflerie, il a été nécessaire d'étalonner les paramètres de la soufflerie pour pouvoir mesurer les vitesses d'écoulement et les forces de traînée exercées. Notons que la vitesse d'écoulement étant subsonique, nous considérons notre écoulement incompressible et la masse volumique de l'air constante. De plus, il aura fallu déterminer en amont les modules d'Young de nos matériaux car ce paramètre entre en jeu dans le phénomène. S’il est évident et vérifié qualitativement que les dimensions des feuilles influent sur le dynamisme, nous n’avons malheureusement pas eu le temps de réaliser des expériences quantitatives tout comme d’autres paramètres que nous aurions voulu mesurer. Nous exposerons ci-dessous les protocoles mis en place, les résultats obtenus ainsi que les protocoles que nous comptions mettre en place.

a- Rigidité de flexion

Nous avons choisi, pour notre étude de comparer le comportement de 5 matériaux différents. Un échantillon de papier dont la structure se rapproche de celle des feuilles d’arbre. Cependant le papier étant un matériau fibré, il ne sera pas capable de reprendre son état initial s'il a été trop froissé. Ainsi nous avons décidé d'élargir notre étude sur une gamme de matériaux moins fragile: le plastique. Nous avons alors choisi 3 échantillons de plastique de raideur très différentes pour pouvoir quantifier l’effet de la rigidité dans nos expériences. De plus, nous avons choisi de rajouter un échantillon métallique de très fine épaisseur puisque nous trouvions intéressant de comparer les résultats obtenus avec ce matériau étant donné que sa structure microscopique est très différente des autres matériaux choisis. Ayant trouvé ces matériaux dans la réserve, nous n’avions aucune connaissance sur les propriétés de chacun de ces matériaux. Nous avions besoin d'avoir accès à la rigidité en flexion de chacun d'eux, nous avons alors chercher à mettre en place un protocole pour la mesurer expérimentalement. En consultant les encadrants, plusieurs protocoles ont émergés, que nous développons dans les paragraphes qui suivent.

	i) Poutre encastrée libre 

Tout d’abord, le premier protocole repose sur la mesure de l'angle de courbure des matériaux. Pour ce faire, il faut encastrer le matériaux horizontalement d’un coté et laisser l’autre côté libre et soumis à son propre poids. Le côté libre est alors supposé se plier sous son propre poids et former à l'équilibre un angle de courbure qui lui est propre. Ce protocole est schématisé en figure 4.


Figure 4: Protocole de calcul de la raideur par la méthode de la poutre encastré libre

Cette expérience est alors facilement interprétable puisque, par un équilibre mécanique dans le régime des petites déformations et en imposant la condition {$\dfrac{dy(0)}{dx}=0$} , on peut remonter à la formule ci-dessous : {$y(x)=\frac{\delta}{2} (\frac{x}{L})^2 \frac{(3-x)}{L}$} (14)

{$\delta=\frac{FL^3}{3EI}$} (15)

En sachant que : {$ \frac{1}{R}\approx\dfrac{d^2 y}{dx^2}$} avec R le rayon de courbure. Il est donc possible de remonter à la rigidité de flexion du matériau grâce à la courbure. Seulement, pour les matériaux trop rigides, il est nécessaire d’appliquer une force supplémentaire (par l’ajout de petites masses à l’extrémité libre) pour observer une courbure. Les encadrants nous ont mis en garde sur l'imprécision de cette méthode, nous avons donc choisi de changer de protocole pour obtenir une meilleure précision.

	ii)Détermination de la rigidité de flexion par un forçage de type harmonique et acquisition photographique 

Figure 5: Dimensionnement mis en place dans notre étude

(Voir en ANNEXE 1 les dimensionnements utilisées pour nos expériences)

A la suite de l’étude du document Résonance d’une poutre en vibration transversale, nous avons choisi de mettre en place un nouveau protocole basé sur la mesure de la fréquence de résonance d’un matériau qui peut être reliée à la rigidité de flexion selon la formule suivante :

{$\omega_i=\frac{\alpha_i^2}{L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}$} (16)

Avec {$\alpha_i=k_i L$}, avec {$k_i$} le mode de vibration

{$ω_i$} : la fréquence de résonance {$\rho$} : masse volumique

Afin de déterminer cette fréquence de résonance, nous avons donc utilisé un pot vibrant vissé à une fixation pour la feuille (façonnée par le technicien). De cette manière, en fixant la feuille en son centre la résonance peut se mesurer grâce à l’amplitude d’oscillation de ses extrémités. Le pot vibrant relié à un oscilloscope nous permet de contrôler la fréquence d’excitation appliquée sur l’échantillon (voir figure 6). Trouver la fréquence de résonance consiste donc à trouver à quelle fréquence le matériau étudié oscille avec la plus grande amplitude, tout en restant dans le premier mode d'oscillation (il ne faut donc pas de nœuds de vibrations, ce qui revient aussi à fixer {$k_i=1$}). Plusieurs sous-méthodes ont encore une fois été mises en place afin de mesurer ce maximum d’oscillation de la manière la plus précise possible.


Figure 6:Schéma de l’expérience « horizontale » pour la détermination de la rigidité de flexion

Pour que les résultats soient plus facilement interprétables, nous avons travaillés sur le dimensionnement des pièces que nous excitions grâce au pot vibrant. En effet, nous avons remarqué que lorsque les lamelles de matériaux sont longues, leur excitation devient moins efficace en raison de l'influence de la gravité.

Nous avons également constaté que pour certains matériaux (les plus souples), la gravité faisait à elle seule courber nos échantillons. Pour que cette force puisse être considérée comme négligeable, nous avons alors décider de changer la configuration de l'expérience, en plaçant le pot vibrant verticalement par rapport au sol. Ce protocole est schématisé ci dessous(figure 7).


Figure 7:Schéma de l’expérience « verticale » pour la détermination de la rigidité de flexion

Nous avons constaté que les fréquences de résonances obtenues par les 2 méthodes sont du même ordre de grandeur, mais tout de même légèrement différentes. On remarque que les fréquences de résonances obtenues par le protocole verticale sont systématiquement plus grandes que les valeurs obtenues par le protocole horizontale. Il semblerait donc que la gravité joue belle est bien un rôle (mineur) dans la fréquence de résonance mesurée.

Pour être plus précis et plus efficace dans notre mesure de la fréquence de résonance, nous cherchions d’abord visuellement la gamme de fréquence dans laquelle intervenait la résonance (gamme de fréquence de 2 à 3 Hz). Pour une fréquence fixée dans cette intervalle, nous prenions une photo en pose longue de l'allure de l'échantillon (c'est-à-dire que l’obturateur reste ouvert pendant plusieurs secondes), la photo résultante montre alors les différentes positions prise par l’objet pendant la période d’ouverture de l’obturateur(exemple de photo avant analyse en figure 8).


Figure 8: Acquisition photographique de l'amplitude d'oscillation du matériau B à une fréquence de 21.8Hz

Grâce au logiciel Regressi, il nous été ensuite possible de pointer numériquement, l’amplitude atteinte par le matériau à fréquence fixée. L’acquisition photo était réalisée tous les 0.2 Hz, dans la gamme de fréquences estimée au début du protocole. Nous avons donc réalisé, un graphe de l’amplitude d'oscillations atteintes en fonction de la fréquence ce qui nous permettait de déduire la fréquence de résonance. En ANNEXE 2, se trouve les graphes de résonances que nous avons tracé (figure 40 à 48).

	iii) Détermination de la rigidité de flexion par un forçage de type harmonique et interprétation grâce au laser 

Pour vérifier nos résultats, nous avons ensuite décidé de tester une autre méthode très rapide à mettre en place, afin de confronter les résultats obtenus précédemment par le protocole avec les photographies pose longue. Cette deuxième méthode consistait à pointer l’extrémité de la lamelle de matériau (toujours fixé sur le pot vibrant) et grâce aux propriétés réfléchissantes de ce matériau, le faisceau laser était alors réfléchis dans une autre direction, nous placions alors un écran de tel sorte que le rayon réfléchis atterrisse dessus. (voir schéma figure 9)


Figure 9: Schéma du protocole de mesure de la raideur de matériaux avec utilisant de laser

Nous étions ainsi capables de rapidement déterminer la fréquence de résonance, puisqu'il nous suffisait de marquer sur notre écran grâce à un repère visuel la distance maximale atteinte par le laser pour chaque fréquence. La fréquence associée à la distance la plus grande entre les repères correspondait donc à la fréquence de résonance. Cependant, du fait de la variété des matériaux que l’on a choisi de tester, certains n’avaient pas les propriétés optiques nécessaires à la réflexion du faisceau laser.

	iv) Conclusion sur le calcul de la rigidité

Le tableau ci-dessous, récapitule l’ensemble des résultats sur les fréquences obtenus pour chacun des matériaux en fonction du protocole.

Nom du Matériel étudié Fréquence de résonance obtenue par protocole horizontale, acquisition photographique Fréquence de résonance obtenue par protocole verticale, acquisition photographique Fréquence de résonance obtenue par le protocole laser
Papier 12.4Hz entre 12 et 12.5 Hz papier pas assez réfléchissant
Métal 3.1 Hz 3.2Hz 3.7 Hz
Plastique A 9.7 Hz 11.1 Hz plastique pas assez réfléchissant
Plastique B 21.2 Hz expérience non réalisée 21.45 Hz
Plastique C expérience non réalisée 8.5 Hz 10.6 Hz

Avec l'équation (16) , on trouve {$EI=\frac{\omega_i^2}{\alpha_i^4}\rho L^4 S$}
Avec {$\alpha_i=k_iL$} or on se place dans le premier mode de vibrations, c'est à dire : {$k_i=1$} D’où : {$B=EI=\omega_i^2\rho S$} (17)

Pour être capable de calculer expérimentalement la valeur de la rigidité de flexion, nous avions besoin de connaître la masse volumique de chaque matériau. Nous devions réaliser un protocole expérimentale simple pour trouver cette valeur (introduire un échantillon dont on a mesuré le poids dans une fiole jaugé rempli d’eau, et relever la variation de volume après introduction de l’échantillon). Pour pouvoir continuer notre étude, nous avons choisi de prendre les masses volumiques tabulés pour chacun de ces matériaux. En ce qui concerne le plastique, les valeurs tabulés de masses volumiques dépendent du type de plastique, nous avons choisi de prendre la valeur médiane des valeurs possibles de masse volumique.

On remarque que les valeurs de module d'Young trouvées expérimentalement sont dans le bon ordre de grandeur pour le papier et le plastique, mais que la valeur trouvée expérimentalement pour l'aluminium est sous-estimée par rapport à la valeur tabulée. Les sources d'erreurs sur notre calcul de la raideur sont nombreuses: le dimensionnement des pièces({$\pm$}5 mm) pour chacune des longueurs de notre échantillon, la détermination de la fréquence de résonance introduit aussi des erreurs (le pointage est quant à lui assez précis: à 5 ou 10 pixels près), mais étant donné que nos acquisitions étaient réalisés toutes les 0.2 Hz, nous considérons une incertitude de 0.2 Hz.Enfin étant donné que nous avons choisi arbitrairement une valeur de masse volumique dans les valeurs tabulées pour le plastique et le papier nous considérerons une incertitude de 100 {$kg/m^3$} pour la masse volumique du papier et de 500{$kg/m^3$} pour le plastique. Les résultats de nos mesures expérimentales ainsi que leurs incertitudes associés sont présentés ci-dessous

Nom du matériau Papier Plastique A Plastique B Plastique C Aluminium
masse volumique ({uploadg/m^3$}) 800 800 800 800 2700
module d'Young expérimentale (GPa) {$2.9\pm 0.5$} {$2.0\pm 0.3$} {$2.9 \pm 0.5$} {$1.7\pm 0.9$} {$3.6\pm 0.6$}
module d'Young théorique (GPa) 3 à 4 0.35 à 2.5 0.35 à 2.5 0.35 à 2.5 62
Raideur {$1.5\pm 0.4$} {$1.3\pm 0.2$} {$5.5\pm 1.3$} {$1.1\pm 0.8$} {$1.5\pm 0.3$}
b- Calibration de la soufflerie et étalonnage des capteurs

Afin d’obtenir des données quantitatives des déformations, nous avons décidé d’utiliser un capteur de force. L'intérêt de ce capteur est d’avoir accès à la force totale exercée sur l’élément de surface mis en jeu. Pour cela, nous nous appuierons sur un capteur de déformation. La soufflerie nous imposant une restriction d’espace de travail et étant sensible au volume des objets plongés dans cet espace, nous avons fait le choix de créer notre propre capteur de déformation, schématisé en figure 10. (voir les caractéristiques constructeurs de la jauge de contrainte en ANNEXE 3)


Figure 10: Schéma du capteur

Le principe de ce capteur est d’attacher une feuille d’un matériau que nous voulons étudier au bout d’un réglet d’acier inoxydable d’1mm d’épaisseur. Sous la pression exercée par la soufflerie sur notre matériau, le réglet va se déformer aux alentours du point de fixation. A cet endroit, nous plaçons une jauge de déformations qui sous la contrainte renvoie une variation de résistance électrique. Ainsi nous pouvons obtenir une donnée reliée à la force exercée sur notre système après étalonnage.

Après avoir préparé la zone d'accueil de la jauge de contrainte, nous la collons à l’aide d’une colle époxy à prise rapide. Après avoir soudé des fils électriques et attendu le séchage de la colle, nous effectuons un rapide test à l’aide d’un ohmmètre. Nous nous heurtons à un premier problème: même avec de grosse flexions, nous pennons à observer une variation significative de la résistance. Nous construisons donc un pont de Wheatstone (voir figure 12). Ce dernier a pour objectif de nous donner une meilleure visibilité sur les mesures. Désormais nous obtenons une tension reliée à une déformation.


Figure 12: Schéma du pont de wheatstone.

Notons que nous avons choisi des résistances du même ordre que la résistance de la jauge soit {$120\pm 5~\Omega$}

Il apparaît ici un second problème. Nous remarquons que les faibles déformations n’induisent pas de variations significatives. Après un rapide calcul nous obtenons une force minimale correspondant à un poids de 5g. En montant le capteur à vide dans la soufflerie , nous remarquons que les variations de tension sont suffisantes, même pour de très faibles vitesses d'écoulement. Il nous faut maintenant étalonner le capteur pour mettre en relation une force et la tension de sortie. Nous fixons le capteur à l’horizontale, nous plaçons au bout du réglet de petites masselottes soumises uniquement à leur poids(voir schéma figure 13).Nous obtenons un étalonnage (présenté en figure 14). Nous observons que la valeur de tension pour une position du capteur verticale est légèrement plus faible. En effet le réglet n’est pas soumis à son poids. Nous décidons de translater notre courbe d’étalonnage pour qu’elle corresponde à la réalité.


|Figure 13: Schéma du protocole d'étalonnage

|Figure 14: Courbe d’étalonnage de la jauge

Afin de mesurer la vitesse d’écoulement du fluide, nous avons à disposition trois instruments différents: Un tube Pito, un anémomètre à fil chaud ou un anémomètre à hélice. Après un rapide aperçu en soufflerie, nous remarquons que le tube Pito ne permet pas des mesures exploitables et que l’anémomètre à hélices induit de fortes perturbations de l’écoulement dans la soufflerie et qu’il est moins précis pour les faibles vitesses. Nous avons donc fait le choix d’utiliser l’anémomètre à fil chaud qui est lui plus précis. Afin d'étalonner l’instrument, nous avons décidé de placer l’anémomètre à hélice derrière le fil chaud pour ne pas perturber l’écoulement avant le fil chaud tout en plaçant l’hélice sur une même ligne de courant dans la zone où sera placé notre système d’étude(voir figure 15).


|Figure 15:Protocole d’étalonnage du fil chaud

Ainsi, nous avons accès à la vitesse de l’écoulement sur une ligne de courant et nous pouvons corréler la vitesse mesurée avec la tension du fil chaud (voir figure 16). Nous en profitons pour effectuer des graduations sur le potentiomètre de la soufflerie afin de se donner une idée de la vitesse d’écoulement. Enfin, nous effectuons une étude qualitative du profil des vitesses dans la soufflerie. Les vitesses sont constantes partout au centre de la soufflerie et les grandes variations du profil se font sur une zone d’environ 3 cm à partir des parois. Etant donné que cet effet est négligeable au centre de la soufflerie, nous travaillerons donc uniquement dans cette zone.


Figure 16: Courbe d’étalonnage du fil chaud
c- Expérience en soufflerie

Dans cette partie, nous présenterons les résultats obtenus sur l’échantillon de papier et les 3 différents échantillons de plastique (en effet, les dimensions de l’échantillon de métal n’étaient pas adaptés aux dimensions de la soufflerie et la découpe n'était pas possible). Nous placerons notre plaque à étudier perpendiculairement à l’écoulement, fixée en son centre. Pour chacun des matériaux, nous avons pris simultanément la tension du fil chaud, la tension au bornes du capteurs de forces et nous avons pris une photo de l’échantillon à vitesse constante. La figure 17 présente le protocole suivi pour cette étude.


Figure 17:Expérience dans la soufflerie

Pour interpréter notre acquisition photographique, nous avons utilisé le logiciel Regressi pour pointer la position prise par l'échantillon (vu par au-dessus) (voir annexe figure 40 à figure 64). La première chose que nous avons remarqué est qu’à partir d’une certaine valeur de vitesse, pour tous les échantillons, l’allure prise par la feuille ne rentrait plus dans le modèle linéaire. Cet valeur seuil correspondait à une vitesse d’écoulement entre 60 et 70 km/s. Dans le cas non linéaire, il n‘était pas possible d’interpréter l’allure des lamelles d'échantillon (voir figure 18).


Figure 18: Allure papier à v = 70 km/s

Avant cet valeur seuil, l’allure prise par la feuille est quasiment parabolique. Nous avons donc fait une modélisation parabolique sur ces points expérimentaux. Pour interpréter nos résultats, nous avons choisi de réaliser une régression parabolique sur les points expérimentaux trouvés par pointage. Pour vérifier l'allure de la courbure à mesure que la vitesse de l’écoulement augmente, nous avons tracé les figures ci-dessous pour chacun des matériaux (figure 19 et figure 20). Pour obtenir cette figure, nous avons utilisé les paraboles trouvé par la modélisation Regressi.


Figure 19: Superposition de toutes les allures paraboliques prises par les matériaux (y en fonction de x, avec point d'attache situé en (0,0)) aux différentes vitesses d'écoulement (de haut en bas: plastique A, plastique B et plastique C)

Figure 20: Superposition de toutes les allures paraboliques prise par le papier (y en fonction de x, avec point d'attache situé en (0,0)) aux différentes vitesses d'écoulement

Pour les 3 échantillons de plastiques (figure 19), l’allure correspond bien à nos attentes (c'est à dire que la courbure prise par la feuille augmente avec l'écoulement). En ce qui concerne le papier (figure 20), la courbure est bel est bien de plus importante. A 60 m/s, nous avons remarqué que l’échantillon rentrait dans un régime de turbulence l’acquisition photographique avait tout de même permis d’obtenir un profil parabolique. Cependant, en affichant cette dernière parabole, on s'aperçoit que la feuille est moins courbe avec une vitesse de 60 m/s qu’elle ne l’était à une vitesse d’écoulement de 50 m/s. Ceci peux s'expliquer de deux façons différentes. Premièrement la photo à été prise dans un régime turbulent, donc on ne peux pas exclure le fait que la photo ait été prise au mauvais moment. Deuxièmement, dans ce type de régime les forces de portance peuvent être dominantes sur la force de traînée.

Dans un deuxième temps, nous avons cherché à comparer l’allure prises par les différents échantillons à une même vitesse d’écoulement.


Figure 21

Figure 22

Figure 23

Figure 24

Figure 25

De ces figures (figure 21 à 25), nous pouvons tirer plusieurs informations: Si l’on ne considère que les matériaux plastiques, ces résultats confirment ce que l’on attendait puisque, plus le plastique est rigide, moins il se courbe sous l'effet de la force de traînée. Dans un deuxième temps, en s’intéressant aussi au papier, on remarque qu'à basse vitesse (<30 m/s), le papier est plus courbé que le plastique A (ce qui est en accord avec les prévisions), à haute vitesse, le plastique A devient le matériau avec la plus grande courbure. Nous pensons que cette incohérence avec la théorie est dû au fait que le papier et le plastique ont des structures microscopiques différentes. Comme présenté précédemment, le fait que le papier ait une structure fibreuse et qu’elle n’est pas capable de se rétablir comme le plastique qui lui est plus élastique. De plus, pendant toute notre expérience en soufflerie, nous n’avons jamais changer d’échantillon, il s'abîmait sans aucun doute au fur et à mesure de l’expérience. Nous aurions aimé réaliser cette même expériences avec des échantillons de papier de rigidité différente.

Nous pouvons grâce au graphique suivant (Figure 26) vérifier que la force exercée sur nos échantillons est bien proportionnelle au carré de la vitesse d'écoulement. Ici nous avons la tension de la jauge de contrainte en fonction de la vitesse d'écoulement. La tension est proportionnelle à la force d'après notre graphe d'étalonnage. Nous obtenons donc bien un profil parabolique:


Figure 26: Tension de la jauge en mV en fonction de la vitesse d'écoulement en km/h
d- Nombre adimensionnels obtenus expérimentalement

Finalement, pour interpréter nos résultats, nous utiliserons les nombres adimensionnels introduits dans la première partie: le nombre de Cauchy et le nombre de reconfiguration. La seule donnée nous manquant à ce stade pour être capable de faire l'étude sur les nombres adimensionnels est le coefficient Cd. Pour obtenir ce coefficient, nous utiliserons la formule proposé dans la thèse de F.Gosselin dans Mécanismes d'interactions fluide-structure entre écoulements et végétation: {$C_D=1.15+ S/0.0324 $} (18)

Dans l’optique de décrire le comportement des différents systèmes soumis à divers contraintes, nos deux nombres adimensionnels sont donc censés dépendre l’un de l’autre. Ainsi, il en découlera une courbe supposée continue de {$\overset{\sim}{C_y}$ (3) en fonction de R (4). Respectivement le nombre de Cauchy (caractérisant l'effet de la flexibilité sur la traînée) et le nombre de reconfiguration (caractérisant l'effet de la flexibilité sur la traînée). Dans ce cas, les différentes relations obtenues entre ces deux nombres peuvent être interprétés. Nous savons que si la pente logarithmique entre Cy et R est nulle ou quasiment nulle, c’est que la déformation de la feuille sera de faible amplitude et que la traînée se comportera comme si la plaque était totalement rigide.

Si au contraire, la pente logarithmique est grande, c’est que la déformation du système est important, on observe alors une réduction de la force de traînée qui s’applique sur le système grâce au propriété de flexibilité de ce dernier.


Figure 26

Figure 27

Figure 28

Figure 29

Figure 30

Les figures obtenues (figure 26 à 29), montre des pentes logarithmique quasiment nulles, ce qui signifie que dans les conditions des expériences que nous avons réaliser, les déformations sont de faibles importances. D'autres part, on remarque (figure 30) que toutes les courbes ne se superposent pas même si elle suivent toutes la même tendance. Nous nous attendions pourtant à ce que toutes ces courbes se superposent puisque cela aurait permis d'affirmer que nos nombres adimensionnés décrivent bien le problème. Pour mettre en place notre protocole, nous n'avons eu que très peu de temps (environ 1h30). Ainsi, nous n'avons pas pris le temps de vérifier les dimensions des lamelles mises dans la soufflerie, nous avons recoupés certains échantillons entre l'expérience de mesure de la raideur et l'expérience en soufflerie (car les échantillons été abîmés). Mais nous n'avons pas vérifiés les nouvelles dimensions de tout nos matériaux. Cette mise en place précipitée du protocole pourrait expliquer pourquoi les courbes ne se superposent pas.

e- Expériences envisagées dans un futur alternatif

Comme explicité précédemment, nous aurions souhaité réaliser nos expériences avec différents échantillons de papier pour essayer de comprendre l'incohérence avec la théorie observé grâce aux figures 21 à 25.

Les paramètres que nous pouvions faire varier durant nos expériences étaient: la vitesse de l’écoulement, la rigidité du système mais aussi les dimensions et la forme du système. Nous n'avons pas eu la possibilité d'étudier ces deux derniers paramètres et voici donc les expériences que nous aurions souhaité effectuer:

- dans les expériences réalisées, nous n'avons pas eu l'opportunité de dimensionner tous les échantillons de la même façon; un protocole avec tous les échantillons dimensionnés de la même façon nous aurait permis une étude négligeant l'effet des dimensions.

- soumettre des échantillons ayant la forme d’une feuille.

- faire une étude sur l'effet de la variation de la section mise face au vent. Ceci dans le but de déterminer en soufflerie l'évolution de la flexion et de la vitesse de rupture de nos feuilles selon ce paramètre.

- découper des feuilles circulaires sans rainures afin d'observer en soufflerie des flexions sur 2 dimensions différentes en simultané (ce qui n'a jamais été expérimenté). Nous aurions de plus cherché si un certain équilibre ou une périodicité dans les flexion étaient à observer.

Conclusion:

Nos expériences les plus quantitatives portent sur la rigidité des matériaux et la vitesse d’écoulement. Nous avons pû constater par l’expérience, que les paramètres de notre modélisation interviennent effectivement dans ce phénomène physique. Nous n’excluons cependant pas d’autres dépendances. Ces expériences ont confirmées la robustesse de notre théorie, mais ont également permis de mettre au jour les limites de ce modèle. Si globalement la théorie et l'expérience se rejoignent, il existe des biais expérimentaux causés par notre départ précipité des laboratoires, d'où un manque de données. En effet, nous n’avons malheureusement pas eu la chance de réaliser toutes les expériences souhaités. Cependant, nous avons davantage appréhendé ce phénomène par de petites expériences qualitatives. Ceci nous a permis de tirer des premières conclusions quant à l’importance de certains paramètres notamment les dimensions des échantillons. L’étude de la géométrie de nos échantillons nous tenait particulièrement à coeur et plus particulièrement l’étude d’un système bidimensionnel. Annexe :

ANNEXE 1: Dimensionnement de nos échantillons:'

Nom du matériau Largeur b longueur libre L épaisseur = hauteur h
Papier 2.5 cm 13.5 cm {$\approx 0.5 mm$}
Métal 5 cm 29.9 cm 0.1mm
Plastique A 3 cm 13.5 cm {$\approx 0.5 mm$}
Plastique B 1 cm 22.8 cm {$\approx 1.5 mm$}
Plastique C 3 cm 13.5 cm {$\approx 0.5 mm$}

ANNEXE 2:Graphe de résonnance: '


Figure 31: Graphe de résonance du papier: protocole horizontal

Figure 32: Graphe de résonance du papier: protocole vertical

Figure 33:Graphe de résonance du plastique A: protocole horizontal

Figure 34: Graphe de résonance du plastique A: protocole vertical

Figure 36: Graphe de résonance du plastique B: protocole vertical

Figure 37: Graphe de résonance du plastique C: protocole horizontal

Figure 38: Graphe de résonance de l'aluminium: protocole horizontal

Figure 39: Graphe de résonance de l'aluminium : protocole vertical

ANNEXE 3:Détails jauge de contrainte


Figure 11: Détails de la jauge de contrainte.

ANNEXE 4: Résultat de l'expérience en soufflerie.

Papier

Tension fil chaud (V) Tension jauge(mV) Vitesse potentiomètre f 1/Rayon de courbure
0 16.5 0 x 0
14.4 16.2 10 {$-0.0841x^2-0.0717x-0.0362$} {$\frac{-0.1682}{(0.028x^2 +0.024x+1)^{3/2}}$}
29.6 15.8 20 {$-0.561x^2
+0.0749x+0.368$}
{$\frac{-1.122}{(1.26 x^2-0.17x+1)^{3/2}}$}
48 15.5 30 {$-0.0841x^2
-0.0718x-0.0362$}
{$\frac{-0.1682}{(0.028x^2+0.02x+1)^{3/2}}$}
62.4 15.2 40 {$-0.820x^2
+0.139x+1.01$}
{$\frac{-1.64}{(2.69-0.46x+1)^{3/2}}$}
80 14.6 50 {$-0.812x^2
+0.0644x+0.645$}
{$\frac{-1.624}{
(2.64x^2-0.21x+ 1)^{3/2}}$}
88 13.9 60 {$-0.740x^2
+0.125x+0.669$}
{$\frac{-1.48}{(2.19x^2 -0.37x+ 1)^{3/2}}$}
101 13.2 70
106 11.8 80
106 10.5 90

Pointage de l'allure du papier aux différentes vitesses d'écoulement:


Figure 40 vent à 10 km/h

Figure 41 vent à 20 km/h

Figure 42 vent à 30 km/h

Figure 43 vent à 40 km/h

Figure 44 vent à 50 km/h

Figure 45 vent à 60 km/h

Plastique A

Tension fil chaud(V) Tension jauge (mV) Vitesse potentiomètre (m/s) f Rayon de courbure
0 16.5 0 x 0
13.2 16.2 10 {$-0.0658 x^2+ 0.642x +3.15$} {$\frac{-0.13}{
(0.017x^2 -0.17x +1.41)^{3/2}}$}
25.2 15.8 20 {$-0.271 x^2+2.79 x -2.62$} {$\frac{-0.54}{(0.29 x^2 -3.02x+ 8.7841) ^{3/2}}$}
43.2 15.6 30 {$-0.587 x^2 + 6.05x -11$} {$\frac{-1.17}{(1.38 x^2 -14.21 x +37.60)^{3/2}}$}
60.8 15.3 40 {$-0.904 x^2
+9.46 x -20.2$}
{$\frac{-1.81}{(3.27x^2 -34.21 x+ 90.49)^{3/2}}$}
82.4 14.7 50 {$-1.35 x^2+13.7 x -29.9$} {$\frac{-2.7}{(7.29x^2 -73.98 x + 188.69)^{3/2}}$}
94.4 13.9 60 turbulent
106 12.3-11.9 70
106 10.8-11.2 80

Pointage de l'allure du plastique A aux différentes vitesses d'écoulement:


Figure 46 vent à 10 km/h

Figure 47 vent à 20 km/h

Figure 48 vent à 30 km/h

Figure 49 vent à 40 km/h

Figure 50 vent à 50 km/h

Figure 51 vent à 60 km/h

Plastique B

Tension fil chaud(V) Tension jauge (mV) Vitesse potentiomètre (m/s) f Rayon de courbure
0 16.5 0 x 0
17.6 16.3 10 {$-0.00429x^2
-0.008x+5.28$}
{$\frac{-0.00858}{(7.36e-05x^2 +13.73e-04 x +1) ^{3/2}}$}
29.6 16.1 20 {$-0.0101 x^2
+0.0534 x +5.01$}
{$\frac{-0.0202}{(4.08x^2 -0.0021x+ 1)^{3/2}}$}
47.2 15.2 30 {$-0.0315 x^2
+ 0.268 x +4.24$}
{$\frac{-0.063}{(3,97 e-03 x^2 -0.033768x + 1.07)^{3/2}}$}
62.4 14.6 40 {$-0.0369x^2
+0.335 x +3.76$}
{$\frac{-0.0738}{(5.45 e-03 -0.049+ 1.11)^{3/2}}$}
79.2 13.5 50 {$-0.048 x^2
+0.458 x +3.06$}
{$\frac{-0.096}{(9.22 e-03 x^2-0.088 x+ 1.21)^{3/2}}$}
93.6 12.4 60 {$-0.0538+0.524+2.45$} {$\frac{-0.1076}{(11.5 e-03 x^2 -0.11x +1.27)^{3/2}}$}
106 11.5 70
106 10 80

Pointage de l'allure du plastique B aux différentes vitesses d'écoulement:


Figure 52 vent à 10 km/h

Figure 53 vent à 20 km/h

Figure 54 vent à 30 km/h

Figure 55 vent à 40 km/h

Figure 56 vent à 50 km/h

Figure 57 vent à 60 km/h

Figure 58 vent à 70 km/h

Plastique C

Tension fil chaud(V) Tension jauge (mV) Vitesse potentiomètre (m/s) f Rayon de courbure
0 16.4 10 x 0
16 16.1 10 -0.263 x**2+ 2.5x -0.263 -0.526/(0.28x**2 -2.63x + 7.25) ^(3/2)
27.2 15.6 20 -0.560 x**2+5.33 x -8.13 -1.12/(1.25x**2 -11.94 + 29.41) ^(3/2)
48 15 30 -1.38 x**2+ 13.3x -26.5 -2.76/ (7.62x**2 -73.42x 177.89) ^(3/2)
64 14.1 40 -1.58 x**2+15.3 x -31.9 -3.16/ (9.99x**2 -96.70+ 235.09) ^(3/2)
83.2 13.8 50 -1.51 x**2+14.3 x -29.7 -3.02/(9.12 x**2 -86.37x 205.49) ^(3/2)
60
70
80

Pointage de l'allure du plastique C aux différentes vitesses d'écoulement:


Figure 59 vent à 10 km/h

Figure 60 vent à 20 km/h

Figure 61 vent à 30 km/h

Figure 62 vent à 40 km/h

Figure 63 vent à 50 km/h

Figure 64 vent à 60 km/h

Bibliographie:

Mécanisme d'interactions fluide-structure entre écoulements et végétation GOSSELIN Frédérick, 2009

The rolling up of sheets in a steady flow SCHOULEILER Lionel & BOUDAOUD Arezki, 2006

Résonnance d’une poutre en vibration transversale ESPCI

Valeurs numériques de module d'Young FLTSI

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