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La Boussole chaotique de Croquette

Partie théorique

Le chaos n'est pas aussi chaotique qu'il n'y parait. En effet son désordre n'est qu'apparent. Un système chaotique suit des équations simples et déterministes. Cela dit le comportement de ces systèmes est impossible à prédire sur le long terme à cause de leur très grande sensibilité aux conditions initiales. La boussole de Croquette rend compte d'un comportement chaotique lorsqu'elle est mise en présence de champs magnétiques perturbateurs.

Caractéristiques d'un système chaotique

Un système est dit chaotique s'il possède au minimum trois degrés de liberté. (définitions coming soon) Quelque soit le système, lors de l'analyse des données, le résultat obtenu ne doit pas être régit par une quelconque trajectoire périodique, il doit apparaître comme "chaotique".

Formules utiles (provisoire)

Champ magnétique total

{$$\vec{B}=(B_{1}+B_{2}cos(\Omega t ))\vec{U_{x}} + B_{2} sin(\Omega t )\vec{U_{y}}$$} avec :

       B1 = champ constant 
       B2 = champ tournant de pulsation 
       Oxy = repère centré sur la boussole 
Le moment des forces magnétiques par rapport au point O

{$$\vec\Gamma = \vec M \wedge \vec B$$} avec M le moment magnétique comme suit : {$M = NIS$}

     N : nombre de spire de la bobine
     I : intensité du courant 
     S : surface de la spire
Équation différentielle du mouvement

{$$J\ddot{\theta } + B_{1}Msin(\theta) + B_{2}Msin(\theta - \Omega t) = 0$$} avec, J : moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation

      θ : angle que fait la boussole avec le champ fixe (Ox) 

Schémas


Montage général

Partie Expérimentale :

Montage :

Nous avons eu beaucoup de difficultés à faire notre montage, et nous avons affrontés plusieurs types de problèmes. Le premier auquel nous avons dû nous confronté fut le problème du circuit déphaseur. En effet, nous avons eu du mal a créer notre déphaseur, car à l’oscilloscope nous observions des amplitudes trop différentes ou un déphasage incohérent. Après beaucoup d’essais, nous avons finalement réussi à obtenir notre déphasage de pi/2, comme nous le souhaitions pour pouvoir simuler notre champ magnétique en rotation.

Voici le montage que nous avons :


Nous avons dû affronter un autre problème : le champ magnétique produit par nos bobines n’était pas assez puissant pour pouvoir effectuer des acquisitions satisfaisantes. Nous avons donc pris un amplificateur audio pour pouvoir amplifier notre signal et observer des oscillations et les traiter les données obtenues. Mais après que nous ayons réglé ce problème-ci, un autre a pointé de la bout de son nez, et ce fut un problème massif : il s’agissait du problème de masse. En effet, à cause de masse mal connectées entre elles nous avons fait grillé des fusibles de l’amplificateur audio et même l’ampli opérationnel de notre circuit déphaseur, que nous avons dû changer. Mais, cela dit, nous avons appris de nos erreurs et pouvons affirmer que cela ne se reproduira pas.

Voici une image de notre montage final :

Mettre la super photo de M. N.Taupin.

Nous avons effectué nos acquisitions à l’aide d’une caméra placée au dessus qui a filmé les mouvements de la boussole, film que l’on a traité sur ordinateur avec un logiciel de tracking pour pouvoir obtenir, à tout instant t donné, la position et la vitesse angulaire de la boussole pour pouvoir tracer un diagramme de phase. Nous voulions aussi observer un dédoublement de période, et donc nous avons effectué diverses acquisitions, en modifiant la fréquence de rotation du champ magnétique, pour pouvoir influer sur la paramètre de stochasticité s défini comme : {$$S=2*\sqrt{\frac{M}{J}}*(\frac{(\sqrt{B_0+B_1} )}{\Omega} )$$} Cela nous permet de faire un diagramme de bifurcation, ainsi que des diagrammes de l’espace des phases qui nous dira si le système considéré est chaotique (ce que l’on recherche), ou non.

Expérience

Nous avons effectué notre expérience de plusieurs manières: avec ou sans le champ magnétique fixe. Cependant, nous avons remarqué que si nous retirions le champ magnétique fixe le système n’est plus du tout chaotique, car nous observons seulement des oscillations continues à vitesse fixe, ce qui correspond uniquement au mode 1 (une seule période pour la boussole), ce qui est moins intéressant que les autres modes. Nous avons donc choisi de revenir à notre expérience de départ, pour pouvoir observer les dédoublements de périodes. Pour pouvoir obtenir des résultats, nous avons utilisé plusieurs types de caméras, une enregistrant environ 100 images par secondes, et ensuite une caméra haute vitesse qui pouvait monter beaucoup plus haut. La première caméra n’était pas assez efficace, car avec seulement 100 images par secondes, nous n’obtenions pas assez de données: lors de l’acquisition, il suffisait qu’une petite ombre vienne sans que l’on puisse l’en empêcher ou que la boussole accélère énormément d’un seul coup, et nous obtenions une image ou elle était détectée comme étant à deux endroits en même temps ou encore qu’elle passait d’une position à une autre très éloignée, sans que nous ayons les positions intermédiaires, ce qui faussait nos analyses de données. Cependant, nous étions limité dans les réglages de la deuxième caméra, car si nous prenions un ratiod’image par seconde trop élevé, nous ne pouvions pas obtenir de vidéo d’une longueur satisfaisante,et n’avions pas grand-chose à traiter, et donc n’obtenions pas assez de données pour représenter correctement notre système.

Pour pouvoir obtenir l’angle que fait notre boussole, nous avons utilisé une petite astuce. En effet, bien qu’ImageJ nous donne une valeur d’angle, cet angle est calculé depuis le centre de l’image. Or,centre de l’image n’est pas forcément situé sur le centre de notre boussole. Cependant, nous obtenons les coordonnées cartésiennes x(t) et y(t), ce qui nous permet d’obtenir les valeurs moyennes pour retrouver le centre de la boussole. De là, nous pouvons utiliser la formule {\theta = arctan(\frac{y}{x})} pour pouvoir retrouver l’angle de notre boussole. Mais l’angle ainsi obtenu est seulement compris entre plus ou moins pi/2, ce qui ne reflète pas forcément la réalité. Alors pour compenser cette effet, nous avons utilisé la commande mathlab unwrap pour obtenir l’angle absolu, qui ne s’arrête ni à pi/2, ni à 2pi. Cela nous permet de faire les diagrammes de phases, et de comparer deux résultats obtenus avec les mêmes paramètres, mais partant de conditions initiales différentes, pour voir si elles prennent des trajectoires différentes, chose caractéristique des systèmes chaotiques. Lorsque nous faisions cela, même si nous prenions des conditions initiales proches, nous obtenions des résultats très différents, ce à quoi nous nous attendions. Pour obtenir des conditions initiales très proches, nous avons attaché des diodes aux bobines pour pouvoir observer et connaître la position du champ magnétique rotatif. Nous faisions donc partir la boussole sans vitesse initiale à peu près au même instant, à une incertitude humaine près.

Nous avons aussi voulu voir les différents modes possibles, et pour être sûr que nous ayons atteint le mode désiré, nous faisions des graphes de BLEEP en fonction de BLOOP pour pouvoir observer les différents harmoniques.

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Page last modified on April 04, 2017, at 04:34 PM