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Synchronisation spontanée

               Partie Théorique


 Introduction

La synchronisation est le processus qui décrit deux systèmes ou plus qui interagissent les uns avec les autres, pour finalement décrire le même mouvement. La synchronisation diffère de la résonance, qui correspond à la réponse d'un oscillateur à un signal périodique externe. On trouve de nombreux exemples de synchronisation dans la nature, le chant des criquets, les cellules cardiaques, les applaudissements d'une foule etc...

La première expérience connue qui traita de ce sujet fut l'horloge de Christian Huygens en 1657, il observa que deux horloges montées sur une base commune se synchronisaient en opposition de phase. Nous allons étudier dans ce projet une variante du système de Huygens, en utilisant cette fois non pas des horloges mais des métronomes posés sur une base qui repose sur deux cannettes, qui permettent ainsi le mouvement de la base.

 I) Théorie

Les métronomes peuvent être décris comme des oscillateurs de van der Pol qui font intervenir un coefficient de non-linéarité {$ \varepsilon $}. Le couplage des métronomes est issu du mouvement non-amorti de la base, ce qui va permettre la synchronisation. L'absence de synchronisation en phase observé dans l'expérience de Huygens peut être expliquée par les larges oscillations d'amplitude du balancier qui déstabilisent la synchronisation en opposition de phase. Cependant cette synchronisation peut tout de même être obtenue en augmentant l'amortissement de la base, ou en utilisant des très larges oscillations de fréquences.

Pour la suite nous allons donc poser les équations du mouvements des métronomes couplés, puis approximer ces équations par la "method of averaging". On utilisera ensuite ces équations pour tracer des diagrammes de stabilité pour étudier les points fixes qui définissent l'état à l'équilibre du système. Pour cela on étudie graphiquement si les points fixes sont attractifs ou répulsifs en fonction des paramètres de notre système et ainsi en déduire les régions de paramètre où la synchronisation en phase ou en antiphase est possible.

On a d'abord l'équation du mouvement d'un seul métronome sur une base en mouvement : (1)

On peut en déduire pour deux métronomes un système d'équations couplées : (3) (4)

avec

Ces paramètres sont les paramètres qui définissent notre montage expérimentale, ce sont ces paramètres que l'on fera varier et que l'on mesurera. Pour beta, le premier facteur provient du mouvement de la base et le deuxième du couple inertiel des métronomes. On utilisera notamment des microphones pour déterminer les différences de phases entre les métronomes.

On peut ainsi en déduire le comportement de la phase pour étudier les points attractifs :

On utilisera cette dernière équation pour étudier graphiquement les points fixes et leurs stabilités sur un diagramme d{$ psy $}/dt en fonction de {$ psy $} et ainsi en déduire si le système sera synchronisé en phase ou en antiphase

  II) Etude graphique

Pour les paramètres standards {$ bêta $} = 0.011 , {$ mû $} = 0.010 et {$ gamma $}=0.025, on obtient le graphique suivant :

La courbe noir représente la partie réelle et la courbe rouge la partie imaginaire ( il y a donc un point fixe réel là ou la courbe noir croise l'abscisse, et où la courbe rouge est nulle) On voit alors clairement un point attractif en 0 + [2*n*pi] qui nous indique que la synchronisation en phase est stable. En antiphase, psi= pi (0.5 sur le graphe), le point fixe est répulsif, cette état est donc instable.

Cependant lorsque l'on augmente l'amortissement de la base, en augmentant le paramètre beta par exemple, on obtient alors ce graphique (zoomé en psi = 0.5) :

On voit ici que, en plus du point fixe attractif en 0 + [2*n*pi], on a l'apparition de deux points fixes attractifs autour de psi = 0.5, cela indique donc que dans cette configuration la synchronisation en antiphase (plutôt en pseudo-opposition de phase car on ne se situe pas exactement à pi) est possible.

Dans nos expériences nous allons donc observer la stabilité des synchronisations en phases ou en antiphase en fonction des paramètres du système, de manière à conclure si l'expérience est en accord avec la théorie.

     Partie Expérimentale

  I) Méthodologie

      i) Montage

Le montage expérimentale consiste en deux métronomes installés sur un support de poids variable, soutenu par deux canettes.

Lors de nos mesures nous avons fait varier différents paramètres : le poids du support, la position des canettes ( proches l'une de l'autre ou éloignées), la présence ou non de tapis pour augmenter les frottements ; et enfin les conditions initiales avec lesquelles les métronomes sont lancés ( métronomes lancés en phase ou en antiphase)

      ii) Paramètres mesurées

Dans un premier temps nous avons mesuré les paramètres théta0 et mu, qui correspondent respectivement à l'angle d'amplitude maximale de la tige d'un métronome non couplé, et mu le terme d'amortissement de Van der Pol.

Nous avons également tenté d'utiliser un paramètre rendant compte du couplage des métronomes. Ce paramètre correspond à l'amplitude maximale de mouvement du support. Cependant ce paramètre s'est révélé non concluant. Nous avons donc utilisé un autre paramètre pour rendre compte du couplage, le paramètre bêta de la partie théorique. Ce paramètre rend compte du couplage des deux métronomes en fonction du poids de la base.

Nous avons surtout étudié l'évolution de la différence de phases entre les deux métronomes en fonction du temps au cours de leur synchronisation. Avec cela nous avons pu en déduire le temps de synchronisation, la pseudo-période de synchronisation et le terme d'amortissement exponentiel de la synchronisation.

Nous avons ainsi obtenu l’évolution de la différences de phases entre les métronomes pour de nombreuses configurations différentes (avec ou sans tapis, canettes proches ou éloignées, lancés en phase ou en antiphase, support avec poids différents), nous permettant d'étudier les effets de ces paramètres sur la synchronisation des métronomes.

      iii) Méthodes

L'angle théta0 à été mesuré grâce au logiciel ImageJ. Nous avons analysé une séquence d'images prises à intervalles de temps très courtes pour déterminer l'angle maximal que faisait la tige du métronome avec l'axe de sa base.

Le terme de Van der Pol mu a été calculé numériquement. En modélisant un oscillateur de Van der Pol grâce aux outils d'équations différentielles couplées de Matlab, nous avons comparé les résultats expérimentaux avec les résultats numériques. Donc en faisant varier le paramètre mu dans la simulation numérique, nous avons pu déterminer la vraie valeur de mu en affinant cette valeur pour qu'elle donne un résultat numérique le plus proche des valeurs expérimentales trouvées. Ainsi nous avons pu confirmer la valeur de mu donnée par l'équipe de recherche qui a inspiré notre projet.

Le terme d'amplitude de la base a été déterminé grace à un système laser qui donne une certaine tension en fonction de la distance d'un objet positionné devant. Après avoir calibré l'appareil il suffisait de lire sur un oscilloscope la différence entre la tension minimale et maximale pour déduire l'amplitude du mouvement de la base.

Le tracé de l'évolution de la différence de phase entre les 2 métronomes s'est fait grace au signal sonore émis par les métronomes lorsqu'ils atteignent théta0 ou -théta0. Nous avions donc deux microphones positionnés chacun devant un métronome pour capter le signal sonore émis par ce métronome. Ce signal sonore est transformé en voltage par les microphones puis, avec le logiciel NewSignal, nous obtenions un fichier texte avec 3 colonnes : une colonne avec le temps, une colonne donnant les valeurs de tension correspondant au microphone 1 et une colonne donnant les valeurs de tension correspondant au microphone 2. Nous avons choisi de faire 5 mille acquisitions par seconde pour pouvoir distinguer au mieux le signal "tic" du métronome du bruit. Nous avons créé une fonction sur Matlab permettant de repérer tous les pics du signal et d'assigner à chaque pic et pour chaque métronome une valeur de temps. Après lui avoir donné manuellement le temps correspondant au premier pic, la fonction répète une boucle qui donne le temps correspondant au maximum dans une fenètre de [Temps du dernier pic + 0.9*Période ; Temps du dernier pic + 1.1*Période] et ainsi de suite sur tout le signal brut. Cette fonction nous permettait donc de créer efficacement un vecteur de valeurs de temps pour chaque métronome. Puis il suffisait de faire la différence de ces deux vecteurs et de la diviser par la période pour obtenir un vecteur de différence de phase. Enfin, avec un simple plot de Matlab nous obtenions un tracé de l'évolution de la différence de phase en fonction du temps.

Enfin, grace à l'outil "Curve Fitting Tool" de Matlab, nous pouvions fitter la courbe de l'évolution de la différence de phases avec une fonction de type y=a*exp(-x/b)*sin(d*x+c)+e. En donnant des bonne valeurs de départ aux constantes a, b, c, d et e, nous pouvions ainsi déterminer les valeurs qui nous intéressent : b -terme d'amortissement exponentiel- et d -pulsation liée à la pseudo-période de synchronisation.

  II/Résultats

     i) Évolution de la différence de phase entre les deux métronomes

Grâce aux données acquises on peut tracer l'évolution de la différence de phases :

On voit ici l’évolution de la différence de phases de deux métronomes lancés en antiphase, avec une plaque en métal de 3340g, dans la configuration canettes proches. Ici, les métronomes lancés initialement en antiphase (diffphase/pi = 0,5) se stabilisent à l'équilibre en phase (diffphase/pi = 0).

Montage : métronomes lancés en phase, configuration canettes éloignées avec un support en bois :

On voit ici que les métronomes lancés en phase se stabilisent en antiphase.

Avec différents états de stabilités pour différentes configurations possibles de notre montage expérimental, on peut tracer un diagramme de phase qui décrit l'état d'équilibre des différents systèmes en fonction des paramètres de couplage: bêta et nombre de couches de tapis.

On a arbitrairement attribué la valeur 1 au système lorsque l'état d'équilibre est en phase, la valeur 3 lorsque l'état d'équilibre est en antiphase et la valeur 2 lorsque les deux états sont possibles.

On observe tout d'abord que les tapis « imposent » l'équilibre en antiphase quelque soit la configuration du montage. On note également que plus la masse du support augmente , plus l'équilibre en antiphase prédomine (i.e. plus le paramètre de couplage diminue, plus l'antiphase prédomine). Cependant, nous avons observé que dans la configuration « canettes proches » le système se synchronise systématiquement en phase (sauf dans le cas où il y a au moins 2 couches de tapis). Enfin, on remarque que dans certaines configurations (notamment la zone « 2 » où l'équilibre en phase et en antiphase sont tous les deux possibles) , les conditions initiales influent sur l'état d'équilibre. Selon que les métronomes soient lancés en phase ou en antiphase, l'équilibre sera différent. En effet, le système préférera, s'il le peut, rester dans son état initial.

     ii) Effets de la fréquence des métronomes sur la synchronisation

Durant toutes ces expériences nous avons gardé la même fréquence pour les deux métronomes, 192 battements par minute. Nous avons donc voulu nous intéresser par la suite aux effets de la fréquence sur la synchronisation.

Fréquences identiques

On observe tout d'abord que plus la fréquence est élevée, plus le système atteint l'équilibre rapidement :

Pour le même couplage: à 192bpm, la pseudo-période de synchronisation est de 36 secondes. À 200bpm, elle est de 28 secondes. À 168 bpm, elle est de 42,7 secondes ; 74 secondes à 126bpm et 159 secondes à 108bpm.

Fréquences différentes

Pour des différences de fréquences permises par la graduation du métronome (de l'ordre de 8 bpm et au-delà) il n'y a plus de synchronisation possible:

Ici, les deux métronomes sont réglés respectivement à 192bpm et 200bpm.

Cependant pour de très faibles différences de fréquences, créées par une position "non réglementaire" d'au moins une des masses, la synchronisation reste possible mais l'état d'équilibre est atteint après un temps beaucoup plus long :

Ici, un métronome est à 192bpm et le deuxième à un peu moins de 192 bpm. On obtient une pseudo-période d'oscillation de 43,3 secondes pour ce montage. Tandis que, pour le même couplage, mais avec des métronomes tous les deux à 192bpm, cette pseudo-période est égale à 35,8 secondes.

     iii) Pseudo période des oscillations et paramètre d'amortissement

Montage : métronomes lancés en antiphase, configuration canettes éloignées avec un support en bois :

On observe, quelque soit le montage, des oscillations amorties exponentiellement. Elles sont surtout visibles lorsque l'état de stabilité diffère de l'état initial. On obtient des valeurs de b (paramètre d'amortissement exponentiel) et d (pulsation lié à la pseudo-période d'oscillation) pour chaque système comme expliqué dans la partie méthodes. On peut alors tracer la pseudo-période d'oscillation de la synchronisation en fonction de notre paramètre de couplage bêta :

On note que lorsque le couplage diminue (i.e. la masse du support augmente), la pseudo-période d'oscillation augmente et le système met plus de temps pour atteindre l'équilibre. On observe également que lorsque l'on rajoute des couches de tapis (et donc de la friction), cela a le même effet que d'augmenter la masse du support (l'antiphase est favorisée, la période augmente et donc le système met plus de temps pour atteindre l'équilibre …)

En ce qui concerne le paramètre b d'amortissement exponentiel, lorsqu'on trace sur un graphique son évolution en fonction du paramètre de couplage, on observe que celui ci reste relativement constant :

 Conclusion

Nous avons donc pu observé la prédominance de l'équilibre en antiphase lorsque la masse du support ou les frictions dues au tapis augmentent, ainsi que l'importance de l'influence de la fréquence des métronomes et de la position des canettes sur la synchronisation.

Références

  • J. Pantaleone, Synchronization of metronomes, Am. J. Phys. 70 (2002)
  • A. Pikovski, M. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization: a universal concept in nonlinear science, Cambridge University Press (2001)
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