Morphogenèse des tissus fibrés.

Troisième partie de l'exposé présenté devant les professeurs de prépa.

 

Le propre du tissu vivant est d'être fibré, tissé, presque cousu, et la présence de ces fibres joue un rôle majeur dans le type de forme auquel on doit s'attendre.

Exemple : les empreintes digitales.

Si l'on s'intéresse aux empreintes digitales, on constatera que les doigts présentent des lignes dont le contour est associé à des éminences sur la pulpe des doigts. L'origine des empreintes digitale n'est pas simple à établir. Dans l'embryon, vers 6-8 semaines, des gonflements apparaissent à la pointe des doigts (voir mon livre). En disparaissant, ces gonflements provoquent l'apparition des lignes, un peu comme des plis se forment sur un pruneau d'Agen qui se déssèche, ou bien au fond d'une tasse de lait qu'on laisse sécher (cette description est un peu abusive en ceci que l'instabilité n'est pas directement par pli, mais de type Grinfeld: la forme adopte des plis, mais sans plier de façon élastique: la croissance joue un rôle dans la formation des plis, et cette croissance est irréversible ). Or, c'est un fait mathématique qu'on ne peut pas couvrir une extrémité cylindrique, une sphère ou une demi-sphère avec des lignes, de n'importe quelle façon. On ne peut obtenir que certaines familles de tracés présentants des "singularités" dans les lignes (des sortes de défauts d'alignement:on ne peut pas former un champ de vecteur différentiable sur une surface comme une sphère, d’où les "épis" de cheveux sur la tête). Dans le cas des doigts humains, presque tous les doigts tombent dans trois catégories, les empreintes ont un dessin soit en spirale (1) ci-dessous, so it en boucle (2), soit en tente (3).

 

Trois exemples d'empreintes digitales usuelles.

Ces trois types d’empreintes regroupent 95% des doigts humains (30% pour les spirales, 60% pour les boucles, 5% pour les "tentes"). Du point de vue physique, puisque ces motifs ne sont pas génétiquement codés, ils correspondent à des attracteurs de la dynamique de formation, de type nématoïde.

Des dessins beaucoup plus rares sont par exemple des doubles boucles imbriquées.

Empreinte assez rare: deux spirales.

 

 

Voici un modèle de croissance qui fait le lien entre la croissance cristalline, et la formation des tissus fibrés, formant des organes non-branchés, comme les doigts, ou branchés comme le poumon (en fait, il existe des malformations où l’on observe des doigts "branchus"). Dans ce modèle, la forme des doigts, et celle des organes fibrés en général, est une forme d’équilibre sous l’effet des contraintes internes et superficielles de tension. Cependant, les paramètres physiques du matériau sont donnés par la structure du tissu vivant sous-jacent. Ainsi, lorsque le tissu vivant adopte une configuration en forme d’empreinte digitale, il faut tenir compte en chaque point de la distribution locale de fibres, et de l’anisotropie locale du tissu. Ainsi, le matériau vivant sera plus rigide dans la direction longitudinale (axe des fibres) que dans la direction transversale. Cette simple hypothèse suffit à former un algorithme explicite de construction d’ n doigt. Les images suivantes montrent une solution typique. Elle consiste à construire la forme d’une membrane (peau) mise en charge perpendiculairement, et qui présente un motif d’empreinte digitale, de sorte que, en tout point, la tension superficielle est anisotrope. Pour trouver la forme de la membrane, il faut résoudre un opérateur anisotrope, diagonalisé localement suivant des axes qui suivent le contour des lignes en chaque point. L'image suivante donne un exemple de ré.

Calcul explicite de la forme d'une membrane tendue sur un cercle, et mise en charge perpendiculairement (un peu comme un os poussant sur une peau), mais en tenant compte des propriétés mécaniques de la surface nappée d'une empreinte digitale.

On pourra rapprocher cette forme de la couture d'un talon de chaussette, qui exhibe une éminence permettant de glisser le pied. Les bonnets de soutien-gorge sont également cousus de cette façon.

Chaussette exhibant une éminence dans la région de la couture.

Plus généralement, les tissus vivants ont dans, de très nombreux cas, un ordre orientationnel microscopique dû à la tendance naturelle des fibroblastes à s’aligner (les fibroblastes produisent le collagène, le collagène s’associe en fibres, les fibres s’alignent, particulièrement dans les tissus conjonctifs denses et les épithéliums squameux). Cet ordre orientationnel induit des anisotropies tensorielles des propriétés du tissu vivant, c'est-à-dire une différence de propriétés mécaniques des tissus, suivant qu'on le regarde le long des fibres ou perpendiculairement.En outre, une énergie élastique particulière est associée à la déviation au parallelisme

Ci-dessous: tracé nématoide de fibres (collagène) sur une sphère (à gauche). Forme d'équilibre d'une coque ayant un tel tracé en surface (à droite), associé à une anisotropie locale des propriétés physiques (coefficients de diffusion ou modules élastiques anisotropes suivant les directions parallèles et transverse D parallèle > D transverse).

 

Le modèle de la forme d’une membrane comportant un tracé de type "empreinte digitale" à la surface, montre l’importance du dessin exact pour la détermination de la forme, puisqu’il faut suivre l’anisotropie tout le long du tracé, pour reconstruire la forme. Il reste à comprendre comment le tracé lui-même est engendré en cours de croissance.

Ce problème est très proche sinon identique à celui de la forme d'une goutte de cristal liquide, avec accrochage tangentiel des molécules à la surface. Dans le cas des cristaux liquides, ce qui compte pour le calcul de la forme c'est essentiellement l'écart au parallelisme des brins individuels, microscopiques. Cet écart peut prendre trois formes : des effets d'éventail (splay), des effets de courbure (bending) et des effets de torsion (twist). Chacun de ces effets est associé à une energie (ca coûte de l'énergie pour faire converger des fibres, ça coûte de l'énergie de faire prendre un virage à des fibres, ca coute de l'énergie de sortir des fibres d'un plan. Ces énergies ne sont pas identiques. Quand on fibre une sphere, il y a, suivant la facon dont s'est fibré, des régions parallèles, des regions courbes,des régions tordues. La forme s'en ressent.

Les images ci-dessous montrent d'une part une sphère, avec un champ de fibres de type "balle de tennis". Puis, le calcul de l'énergie correspondant à cette distribution de fibres. Puis un calcul hypothétique de forme, dans une hypothèse scalaire simple (calcul Minh Binh, en cours).

On remarquera l'analogie avec les cristaux facettés, bien qu'il n'y ait pas, ici, d'atomes .

On peut aussi faire une représentation en suivant les lignes:

Formes de croissance fibrées.

Des arguments simples de brisure de symétrie montrent que la forme d’équilibre d’un cristal ayant une surface avec des fibres comportant un nombre restreint de défauts (comme présenté ci-dessus) présente une anisotropie. Or on sait que la vitesse et la forme de croissance des cristaux dépend de leur anisotropie.

On sait par ailleurs en biologie que le tracé des empreintes digitales (reflet de la structure du tissu) n’est pas le même sur les doigts petits et sur les doigts longs. En conséquence, il existe, en biologie, une corrélation entre la vitesse de croissance et la forme du tracé. Cette corrélation, évidente sur l’homme normal (et confirmée par de nombreux travaux) est renforcée par les observations sur les cas pathologiques ou anormaux, où l’on observe des doigts de formes aberrantes, mais très correllées au nappé des empreintes. Ainsi, même dans les cas où, de toute évidence, le programme génétique est complètement perturbé, la correllation entre la structure des fibres et la forme du doigt est maintenue. Dans le même ordre d'idée, les végétaux croissent en général suivant des directions qui sont imposées par l'ordre des fibres. Ainsi, l'axe de croissance des carottes est l'axe de symétrie de rotation au centre des anneaux de fibres dont la chair de la carotte est constituée.

Les mêmes concepts, appliqués à la croissance hors d’équilibre devraient conduire à des branchements de forme déterminée, avec des orientations et des plans de division déterminés par l’anisotropie de la distribution de fibres (un peu comme dans un flocon de neige, sauf qu’il s’agit ici d’une anisotropie de fibres). On s’attend également à trouver des angles spécifiques liés aux équilibres de fibres, et à l’ auto-organisation du motif, comme on l’observe dans le poumon. C’est un fait peu connu des physiciens que les bronches présentent des lignes de cartilage semblables dans leur principe aux empreintes digitales, et présentant notamment le même type de défauts topologiques.

Ci-dessous: Gravure classique de poumon (livre d'anatomie de Gray, fin du XIXe siècle) montrant les anneaux cartilages formant des motifs analogues aux empreintes digitales

 

Les motifs de ces anneaux ne sont pas définis génétiquement. Ils présentent, comme les empreintes digitales, des défauts topologiques de type épaule-de-zèbre (joints de parois séparant trois domaines d’orientation différentes) et des défauts de type cible ou bien boucle (défauts classiques en physique des cristaux liquides).

Ces défauts s’observent également sur des malformations en doigts "branchus", et évidemment, sur les arbres.

Exemples de malformation sévère des doigts associées a des empreintes parfaitement formées (d'après H. Cummins, American Journal of Anatomy, volume 38 Numéro 1, 1926)

Ce type d'observation jette un doute sur la pertinence de la génétique pour l'étude des empreintes digitales. Il est en effet très difficile d'imaginer que la nature ait prévu un tracé particulièrement élaboré pour juste une malformation des pieds.

Ainsi, il est très probable, sinon théoriquement clair, que l'ordre orientationnel a un effet sur les formes statiques et sur les formes de croissance, aussi bien convexes (type gouttes) que plus compliquées (type bifurcation, branchement). Un exemple classique connu de tous est celui des branches des arbres, dont les bifurcations deviennent plus regulières au fil du temps.

Image de branchement végétal (prunus). On notera que la symétrie du branchement est obtenue par la présence des fibres (les branches naissent à angle droit, au départ).

 

Image de quatre branches sur un prunus.

Mais on peut même observer des concomitances de quatre branches, dont les position s'équilibrent en respectant la force de tension entre les quatre "pôles" créés par les centres des branches.

 

En résumé, la logique de construction d'un organe avec du matériau vivant est la suivante

génôme=>propriétés moléculaires du collagène=> (de la chitine, de la lignine, etc.);propriété physiques des fibres de collagène=>architecture du tissu=>anisotropies de croissance=>forme finale.

Partant d’une anomalie biochimique du collagène, cette cascade peut induire des malformations ou de simples changements de forme, toutes choses égales par ailleurs (concentration en facteurs de croissance, contrôle spatial et temporel des expressions par les facteurs de transcription, etc.).

Evidemment, les éléments présentés ici ne prétendent pas décrire toute la morphogenèse et d'autres effets physiques, comme des effets biochimiques très particuliers, jouent un rôle dans la nature. Il y a très peu de principes dans la nature, toute faite de bricolages. Peut-être convient-il d'ériger le bricolage en principe.

Retour à la page précédente

Aller Aller voir de jolies images

Retour à la page de présentation

English version of topic 4


MORPHOGENESIS OF FIBERED TISSUE, especially the fingers


I am interested in the morphological aspects of finger formation (I mean actual fingers, of the hand). I collaborate on this question with Tomoko Watanabe, from the University of Columbia (New York, NY)

 

We are interested in the impact of fibers on the pattern formation. Indeed, it has long been known that the orientational order of the living tissue plays a role in the final shape of the fingers, and of course, of many other organs. This is especially true of epidermal ridges, which are higly correlated to the shape of the fingers. For example : short fingers have a "tented" fingerprint pattern. More elongated fingers have a whorled pattern.

We have tried to apply the backgroumnd knowledge of crystal growth to this problem, and we have come up with a simple algorithm which is able to generate finger shapes.

The algorithm is the following. Since the tissue is composed of streams of cells and fibers (remember that 60% of the dry weight is collagen), the tissue is in fact a piece of fabric with orientational order. Because of this orientational order, the mechanical properties of the tissue are locally, at every point, anisotropic : the stiffness is higher in the longitudinal than in the transverse direction. In order to find the shape of a finger, one simply has to find the shape of a membrane (the skin), which has such a local anisotropy, and which is bearing a uniform load.In order to do so, following standard algebra,one has to solve the equation div([R-1][A][R]grad(F))=load. In this equation R is the rotation matrix which enables one to project the vector gradient on the local frame linked to the fiber direction. [A] is the anisotropy matrix [A1,0,0,A2] which multiplies the components of the gradient by two different values along the longitudinal or the transverse directions. Next, the vector is brought back in the general frame by multiplying by [R-1] (inverse of [R]), and the divergence is taken. The solution of this operator=load gives the deformation of the fibered membrane under a constant load. A typical result is given in the figure below, for a simple epidermal ridge pattern : one finds a convincing finger shape. Explicit calculation of a finger shape (with symmetry across the nail, this is seen actually in some severe nail hypoplasias). A typical fingerprint pattern (top left) is considered on a flat membrane stretched across a circle. Then the load is applied to the membrane, which is deformed vertically. The result is a finger shape (bottom right), with the correct global shape and pattern orientation -especially, the bulge at the center of the finger. No Reaction-Diffusion model is able to make such predictions.

The conclusions of this work are that 1) Mechanical forces shape fingers. 2) The fiber anisotropy must be taken into account. 3) This is a fully 3D problem which cannot be approximated by 2D reaction-diffusion equations etc. 4) The finger shape is a crystal shape with a liquid-crystal like surface. Organ growth (e.g. lung), is probably the same thing, but out of equilibrium -some sort of a dendrite with a 3D fiber structure providing the anisotropy)

Publications


Retour à la page de présentation-Back to front page