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Je propose dans cette rubrique quelques problèmes que je me pose, et sur lesquels je n'ai pas le temps de réfléchir ou de travailler. Si vous avez du temps, ou avez un stage quelconque à faire, on peut voir ça ensemble. Si vous le faites tout seul, c'est aussi bien, envoyez moi la solution.

Problème N°1. Position du problème. Quand on étudie la formation des dendrites cristallines, on a affaire à un problème "à frontière libre". Une famille de solutions satisfaisant les équations de transport est la famille de solution dite d'Ivantsov. Il s'agit d'une famille de paraboles, telles que chaque parabole croît de façon self-consistante, avec le flux d'atomes parvenant sur sa surface.

Bien , puisqu'il s'agit d'une "famille" de solutions, quelque chose doit déterminer la forme de la dendrite effectivement observée. On sait qu'il s'agit de l'anisotropie de la tension de surface. Ben Jacob, Pelcé et d'autres, ont montré qu'une anisotropie de la tension de surface de la forme cos(m.teta) sélectionne une dendrite d'anisotropie m. Le problème a été traité pour m=6 et m=4, Ce qui donne des dendrites à quatre branches ou à six branches. A droite exemple de croissance denritique simulée par ordinateur (aimable autorisation de Mathis Plapp, calcul par la méthode du champ de phase).

Avec Marcus Dejmek, nous avons traité également le cas m=2 numériquement, qui correspondrait, dans notre esprit, à une anisotropie due à des fibres couchées. A cette occasion, je me suis rendu compte que le calcul de stabilité linéaire et de sélection par perturbation singulière n'a été fait que pour des tensions de surface ayant un comportement en e.cos(m.teta). Or, en toute rigueur, n'importe quelle fonction doit faire l'affaire, et une simple parabole a+b(x)2 devrait permettre la sélection de la direction de croissance. Problème : refaire le calcul de perturbation singulière de Pelcé/Ben Jacob, avec une tension de surface de la forme a+bx2 a lieu de cos(m.teta). Partir du chapitre du livre de Pierre Pelcé consacré aux formes de croissance.
Problème numéro 2. Origine de l'écriture. Position du problème. L'origine de l'écriture est probablement "chiromancienne". Les chamanes chinois utilisaient il y a quatre mille ans les os divinatoires (ostéomancie) pour prédire l'avenir de leurs clients. La prédicion était faite ainsi : des écailles de tortue étaient passées au feu. Sous l'effet du retrait (cuisson), l'écaille se craquelait. Les chamanes interprétaient ces craquelures, voire repassaient les craquelures au stylet pour en appuyer certains traits. Ces motifs sont peu à peu devenus l'écriture chinoise. Ainsi, les craquelures produites par le feu (ou de l'argile qui sèche etc.) Induisent dans le cerveau humain le sentiment d'un sens. Par ailleurs, le cerveau a l'air particulièreent à l'aise avec la reconnaissance de petits traits formant des "idéogrammes". On peut montrer un idéogramme à n'importe qui, même sans en connaître le sens, on devine que c'est un signifiant. Les os ci-joints sont sur le site de l'Université de Hong-Kong
Problème posé. S'il y a quelque chose dans le cerveau qui est si à l'aise avec les idéogrammes, alors il doit y avoir dans le cerveau quelque chose qui est capable d'analyser ces patterns d'idéogrammes. Or ces patterns sont, à la racine, des figures de craquelures. Il doit donc être possible de former un modèle de réseaux de neurones (perceptron) qui émule des craquelures. On pourrait commencer par simuler la loi de Hooke, sur un réseau de neurones, puis la propagation de fissures, dans un pattern de réseaux de neurones. En fixant des coefficients synaptiques associés à des "fragilités", on doit pouvoir coder une forme comme un idéogramme, dans le mécanisme de "fracture" émulé par le réseaux de perceptrons.

Point de départ pour un modèle de réseaux de neurones faisant la reconnaissance de l'écriture: les cellules de la rétine projettent des connexions vers des groupes de neurones qui codent pour des bâtons d'orientation et de longueur donnée. A partir des projections "longueurs" on peut former un "tenseur des déformations" synaptiques. En combinant des déformations à angle droit, on peut former "le champ de contrainte" synaptique.

Problème N° 3. Equations de l'élasticité à 3D sur une coque sphérique. Je voudrais utiliser les grilles géodésiques développées à l'université de Boulder pour résoudre les problèmes de météo à la surface de la sphère, pour résoudre des problèmes d'élasticité sur une boule. J'avais contacté les développeur, et j'ai récupéré le package, et un peu regardé le problème. Il s'agit de discrétiser les opérateurs tensoriels sur la grille géodésique. ça doit être faisable assez rapidement, mais j'ai pas le temps.

On peut commencer en visitant le site des calculs géodésiques. Le site des grilles geodesique.

Ou en lisant un article. Un article qui explique tout.

Problème N° 4. Construction de Wulff auto-consistante à 3D

Pour calculer la forme d'un cristal, en fonction de la tension de surface, on utilise la construction de Wulff. Cette opération géométrique consiste à former la podaire de la tension de surface.

Késako? Soit un contour, tel que on connaît, le long du contour, la distribution de forces, en déduire la forme d'équilibre du contour. Ce problème, résolu par Wulff, admet la solution suivante : il faut construire la podaire de la courbe de tension de surface. Cette podaire, c'est l'enveloppe des normales au rayon vecteur, en coordonnées polaires. ca peut paraître bizarre, mais c'est comme ça : la podaire est la courbe telle qu'en tout point du contour, la forme satisfait l'équilibre des tensions, sous l'effet d'une pression de poussée interne. Le calcul de n'importe quelle partie du corps devrait utiliser des concepts de ce genre (et encore, en général, c'est plus compliqué, or on voit assez peu ça en biologie du développement) C'est ainsi que l'on calcule les formes d'équilibre des cristaux, ce qu'on appelle le "faciès" d'un cristal (par exemple : les facettes des quartz, grenats etc.). Je symbolise les forces le long du contour par des mains grosses ou petites, si les mains sont grosses dans certaines directions, et petites dans d'autres, le calcul de la podaire donne un contour cabossé, avec des coins.

C'est l'origine des coins séparant des facettes dans les cristaux etc. (NB il y a plein de subtilités sur lesquelles je passe, liées à la croissance hors d'équilibre).

Problème N° 4. J'ai proposé d'utiliser la construction de Wulff pour calculer la forme d'équilibre d'une surface fibrée. Dans ce cas, on fait l'hypothèse que la tension de surface dépend du tracé des fibres.

Par exemple, si ça converge aux pôles, les fibres sont plus serrées, la surface est plus tendue. On va donc introduire une tension de surface dont la forme analytique dépend d'un vecteur n, qui est le champ d'orientateur et par exemple s varie comme div(n)2 (coefficient K1 de Frank, pour les spécialistes). On peut alors calculer la forme, "en citron"

C'est l'origine des coins dans les citrons, les noyaux d'avocats etc. (du moins, je le pense)

Seulement, il y a un p'tit problème : si on part de fibres couchées sur une sphère, la déformée n'est pas sphérique, donc il faut recalculer le champ de n et de div(n), et recalculer la forme, pour obtenir de façon auto-consistante, la forme d'un contour, tel que les fibres déposées dessus satisfont simultanément les deux conditions : "les fibres suivent un champ n qui suit la surface" ET "la surface est obtenue par la construction de Wulff associée à n". Si c'est deux conditions sont satisfaites, la solution est dite auto cohérente (self consistent). Il faut donc un schéma d'itération de n et de la forme. J'ai produit ça dans un article aux CRAS (About the equilibrium shape of fibered structures Vincent Fleury, Tomoko Watanabe. En général : ça émousse les pointes. Les pointes réellement trouvées sont moins pointues que les pointes à l'itération 0 (parce que ça diverge moins vite qu'aux pôles). La figure de droite montre un calcul itératif convergeant vers le profil auto-consistant (en partant d'une sphère)
Après avoir fait ça à 2D, j'ai donné le problème à Minh Binh Nguyen, qui a fait des calculs à 3D de formes de cristaux, dont la tension de surface est déterminée par un dessin de fibres. Dans ce cas, la construction de Wulff utilise l'enveloppe des plans podaires. En partant d'un tracé, en "balle de tennis", on peut calculer la déformée de la surface. Le problème est qu'on n'a pas calculé la solution auto-consistante: Il faudrait itérer le calcul, en repartant du tracé de fibres, tel que déformé par le premier calcul.
Problème N° 5. J'ai développé un instrument de mesure appelé "tonomètre à balayage". Cet appareil fonctionne en soufflant un jet d'air à la surface des tissus et en mesurant la déformation. J'ai fait un calcul par éléments finis du problème (interaction fluide-structure) en utilisant le code Freefem de l'INRIA (Développé par F. Hecht et O. Pironneau). Malheureusement, je n'ai fait qu'un calcul à 2D. Si quelqu'un veut le faire à 3D, ça m'intéresse. Ici à droite, exemple de calcul par éléments finis de la déformation d'un solide soumis à un jet d'air (Hooke dans le solide, N-S dans le fluide, vitesse fixée à la sortie de la pipette).

Problème N° 6. Physique du branchement entre vaisseaux. Quand on regarde finement des vaisseaux sanguins en formation, on se rend compte que du côté artériel, et du côté veineux, les intersections sont tordues en sens inverse. Ici à droite, une image de vaisseaux dans la membrane chori-allantoïque (CAM), montrant les artères principales : les bifurcations ne sont pas droites: elle font un angle légèrement obtus par rapport à ce qu'on attendrait. (Photos VF. Membrane Chorio-allantoïque de poulet observée en culture "Shell less", vers 5 jours de développement. Caméra Scion corp couleur 12 bits, NIH Image pour Scion Corp, Loupe Binoculaire Leica).
Si on regarde avec une meilleure résolution des petites artères et de petites veines naissantes, on voit bien qu'elles se raccordent avec des angles "en sens inverse". L'équilibre des tuyaux imposerait quelque chose comme 120° (pour des tuyaux de diamètres égaux), mais comme il y a en plus une composante tangentielle due à l'écoulement, et que cette composante est en sens inverse côté veines et côté artères, ça ajoute un biais en sens opposé.

J'avais fait des calculs à 2D d'interaction fluide-structure (par éléments finis) pour des bifurcations de capillaires sur le côté d'un gros vaisseau, mais il faudrait refaire des calculs pour des formes plus générales, avec des tuyaux 3D, posés dans un mésenchyme 2D. Par ailleurs, il faudrait faire des expériences de suivi de la morphogenèse des vaisseaux (Time-lapse) pour montrer que les vaisseaux se déforment dans le sens du cisaillement pariétal (d'où les artères dans un sens, les veines dans l'autre).

Plus généralement, ces forces induisent des effets de couple (torque) dans le tissu entre artères et veines, d'où une sorte de valse (les paires de vaisseaux tendent à tourner corrélativement).

Problème N° 6: Le tourbillon visqueux auto-forcé. Il existe en hydrodynamique quelques exemples bien connus de tourbillons. Comme par exemple la ligne de vortex. Ces tourbillons sont en général inertiels, et, à 2D, peuvent s'ajouter les uns aux autres linéairement. J'ai proposé récemment de modéliser la dynamique de formation des embryons par des tourbillons visqueux, entraînés par les cellules elles-mêmes. Dans cette hypothèse, le problème à résoudre est de la forme nuLaplacien(V)-grad(P)=v/||v||. C'est une équation non-linéaire. Dans ce type particulier d'hydrodynamique, c'est le fluide lui-même qui se tire constamment "de l'intérieur". C'est un problème proche de la magnétohydrodynamique. ça a le mérite de fournir une équation fermée modélisant la formation des animaux. J'ai fait une résolution numérique par éléments finis, mais je cherche la solution générale. La solution pour un tourbillon unique est un vortex auto-forcé ayant un mouvement solide de révolution (très facile à montrer), mais on ne peut pas superposer les solutions car le terme de source n'est pas linéaire. Je cherche une solution générale pour N tourbillons.
La citation de la page : "Si vous avez compris, vous avez sûrement tort", Jacques Lacan.